海天名师姜晓千、王立鹏解析2020考研数学二真题(文字版)

2019/12/24 13:27:48 来源: 海天考研
分享:

  今天上午我们结束了2020考研数学的考试,我们在下午第一时间拿到了考研数学的试卷,我和姜老师给大家做一下数学2的真题分析,姜老师首先你谈一下数学2题型的特点。

  海天名师姜晓千、王立鹏解析2020考研数学二真题:题型特点

  姜晓千:整个今年考试这个2020年的考试,其实数2和数1、数3比较一致,应该是达到了一个比较难的高度了,可以说是达到这些年的一个高峰了,这个难度应该不会低于咱们2018年的,从同学们考完普遍的反应,以及通过这个题型命题的角度就明显感觉,尤其是新型代数。新型代数有两道大题都是之前几年很少出现的,有的基本上就没出现过,所以说今年这个难度比较高一些,大家考完以后先放松放松,不要有太大压力。咱一直说,就是你学得好的、付出多的,最终考得也会好一些,对不对?所以不要有太大压力,放松放松。

  海天名师姜晓千、王立鹏解析2020考研数学二真题:全题目解读

  下面我和王老师给大家把每道题详细的答案给大家说一下,王老师先给大家讲讲。

  王立鹏:我们首先来看一下选择题的第一题,选择题的第一题就是无穷小阶的比较,但是它所给的形式都是变现积分的形式,我们就是想的办法是都先求一阶导数,相当于阶数都降低一阶,这样的话A选项就是X平方了,B选项就是X的二分之三次方,C选项是X平方,D选项是X立方,这样一比结果就出来答案选B了。

  姜晓千:那么第二题是典型的咱们的高等数学第一章的第二类阶段点,那就是所谓的无穷和振荡,如果有一侧出现无穷或者振荡就叫第二类,一侧就行。那么上来你去看一下分母为0的点,是不是非常典型,对吧?但是这个题0这个点不能选,因为分子和分母它能等价替换掉,这个不能选,紧接着再看X等于2可以,是不是?再看分子的话,没有定义的点也可以对不对?所以发现-1也可以,对不对?另外还发现什么?就是1也可以,因为指数函数上方,所以这个题最终2还有-1最终还有1,一共是三个点,所以答案应该选C。

  王立鹏:选择题第三题它考了一个定积分,实际上它就是在考了一个不定积分,是我们通常讲的凑VN法,就是你凑出一个根号X来,这个题就搞定了,再根据牛顿公式,答案应该选择的是A。

  姜晓千:好,第四题,第四题是典型的第二章高阶导数的问题,高阶导数咱一直说三大经典的方法,第一就是递推,常见函数、幂函数、指数函数、对数函数,它单独的话,有成绩的话就不大好使了。紧接着就是成绩的话用什么?用莱布尼茨,所以这个题你上来你就想到莱布尼茨可以,很可以对不对?这不是成绩的高阶导吗?那么因为是求0这个点的,0这个点的X的平方导少了不行,导多了不强,就导几次行?就导二次行,所以说就是CAN2,前面导两次,后面导N-2次就可以了,对不对?另外就是0这个点还有一大方法叫什么?探乐,把对数函数一展开,把米函数一乘,不就得到了吗?所以这个题的答案应该选A。

  王立鹏:选择题的第五题,它在讲了一个偏导数还有连续,就是二元函数的偏导数还有二元函数的连续的定义了,它给问了正确的个数,实际上这个题相当于我们政治里的多选题,这种题比较难度相对来说还大一点,第一个就讲的PNF、PNX的0点的偏导数值,我们直接用导数定义带进去就OK了,第一个是对的。第二个是错的,它这个结果应该是不存在的,三和四都在讲连续性,但是三就是整个的连续性,而四叫做二次连续,说先对X趋于0,再对Y趋于0,当然这个结果也是正确的,所以正确的个数是三个。

  姜晓千:好,第六题,第六题是典型的咱们的第二章导数应用,研究单调性,单调性咱说的先构造辅佐函数,怎么构造?把右边移到左边,移到左边了你发现是F’X减去FX,现在你就想,谁的导数?脑瓜一转你就想好了,应该是1的-XFX对不对?有了辅助函数以后,那接着求导,得到单调区间,三大步。

  有了单调区间,你求二导,你发现导数大了没有?然后紧接着有了单调区间,第三大步是不是带入端点就行了?带入端点这个题比较坏,你看-2、-1、0、1、2,五个点对吧?那五个点都带呗,你会发现,ABC都带上以后,B选项是对的,你不可能一下找到B,对不对?你就挨着带,当你带到B选项的时候,发现B选项是对的,其它也就排除了,答案选B。

  王立鹏:第七题它在讲这个线性方程组的,其实线性方程房组的通解问题,但是它求的是A伴随X=0的通解,我们首先要想到的去求A伴随的质,而这道题告诉我们A不可逆,那A的值就小于N了,那A伴随的质只能是0和1,但是它告诉我们,大A样带出余子是不等于0,那就说明A伴随是非0阵,那A伴随的质就应该是1。所以我们说,它在通解中应该有三个线性无关解。

  然后我们再想到,A伴随、A应该等于A的行列是E,比如说A伴随A等于0,那A的列项就是A伴随X=0的解了,我们当然要去找三个线性无关的,因为AER不等于0,我们就可以断定α1、α3、α4是线性无关的,所以我们做α1、α3、α4的线性组合就可以了,答案选择是C。

  姜晓千:第八题是典型的咱们相似对角化的定义问题,也就是本质问题,P的每一列是不是都是特征值M是它的特征向量对不对?那么紧接着还有一个考点是什么?就是同一个特征值的特征向量的线性组合还是它的特征向量,对不对?因为这个题它明显把α1、α2做线性组合了,所以说那么对应的第一个特征值是1,那特征向量你看了看,应该是α1和α2放一起了。好,然后第二个是-1,那应该是α3的,乘上K没有问题,还是特征向量,对吧?第三个是1,那应该是α2的,对不对?乘上-1是没有问题,不影响,所以答案D是准确的,第四个选项。

  王立鹏:在咱们这次数2的考试试卷中,最简单的还是这个填空题,今年的填空题对大家来说是最简单的。

  姜晓千:填空题最有希望,最容易拿满分的。

  王立鹏:最容易拿24分满分的,第一个题就是数2中特别喜欢考的参数方程求导,我们每年都会给大家数2中,求二阶导,实际上就是大家背一下参数方程中求导的公式就可以了,求完一阶导,再求二阶导,然后把T=1带进去就可以了,所以结果等于负的根号2。

  姜晓千:第十题是典型的咱们第六章二重积分,交换积分次序,咱说三大类,那么直角坐标、极坐标或者说咱们彼此之间的,这个题是典型的直角坐标及之间的,因为你对X一看这个积分不好积,所以说图像一画你会发现,X0到1的时候,Y应该是从几到几?应该是0到X的平方。所以说这一弄,正好是交换积分次序,最终答案应该是2/9(2根号2-1)就OK了。

  王立鹏:十一题是在求二元函数的全微分,二元函数的全微分无外乎就是就两个偏导,DZ应该等于偏Z偏XDX加上偏Z偏YDY,比如说让我们求这两个偏导数的值,当然应该在0到π点的值。单求偏导的时候,就是我们可以如果求偏Z偏X,你先把Y等于π带进去,当然你求偏Z偏Y的时候,你先把X=0带进去,这个题就结束了,答案应该是π-EDX-DY。

  姜晓千:那么十二题是典型的定积分的物理应用,数2的同学数1没考,数2因为高等数学考得透,分值高,所以数2经常考物理应用,这是典型的力,力的话咱不是说分成两大类吗?分为液体跟压力,再乘上面积,另外就是外有引力,这些统一用微原法,就这么几大类,方法很明确,不就是微原法吗?所以这个时候,这个坐标系就建立X轴、Y轴就行了,另外最好就是X轴从负到正往下走,因为这样的话积分正好从0到A,这个题在前面真题里面考过类似的。然后水平地去建立Y轴,这样的话正好沿着积分。

  好,任取一个X,然后马上拨动一个X加DX,水平的是A减去X,这样的话这个H就是X,对不对?好,再乘上这个底面积,底面积就是长乘宽,长的话就是A-X,宽的话就是DX,这一积分答案应该是六分之一A的三次方,就OK了。

  王立鹏:十三题它给的是一个二阶线性长系数微元方程,但是让我们给出条件,让我们求YX的积分,在0到正无穷上的积分,实际上这个题有个简单的方法,就是直接把YX表示出来,然后YX等于负的Y两撇减2Y一撇,带入,我们做分布积分,就可以把这个结果算出来了,算两次就OK了,结果应该等于1。

  姜晓千:传统的方法是不是就把微方程解完对不对?

  王立鹏:解完再带一样。

  姜晓千:然后把这个初始值带上,就是慢了点,另外这个题之前王老师沟通过,这个题确实是真题的架式,2016年考过,它的系数当时给了个K,所以真题得好好做。

  十四题在整个卷子应该说是最好想的,行列式,你可以按照定义直接展开,当然这个定义有点慢了,你可以按照展开,按照某一行直接展开。或者说你再化解一下,比方说咱们第四行加到第三行,或者第三行加到第四行等等,出现个0,然后这样就第一列展开,也可以,答案是A的四次方减去4倍的A的平方,这是填空题。

  王立鹏:十五题对于数2的同学也是求一个斜建线的一个题,比如说我们大家会求K和B就OK了,当然它告诉我们X大于0,我们只用于去正无穷,然后你会发现K等于Y比X,X是正无穷的时候,B等于FX减KX,在X是正无穷,相当于让大家算两个极限了,这个题就很简单了。

  姜晓千:这个十六题,十六题首先出现了一个导数定义,这是分母极限为0,推分子极限为0,得到小f,小f是0,小f是个0,这就是咱们第二章的导数定义了,那说明小f撇0它是个1,这没有问题,这个很轻松。另外小记咱准备求导,求导之前不是涉及到变现积分第三章了吗?求导,这边应该换元法把它换出来,一换以后,那么这就涉及到分段函数了,分段函数是不是应用到第二章分段函数求导,分段函数用什么?导数定义,其它点数用什么?求导公式,把它做完就行。

  王立鹏:十七题它就是个无条件移植,大家第一步先求它的驻点,第二步再根据充分条件AC-B平方去判定就可以了。

  姜晓千:十八题给了一个函数的方程,这个函数的方程不用什么求导,这个函数的方程换元就可以了,你如果这么说,高中也能做,所以第一问高中就能做,紧接着考研的特点就涉及到微积分,所以第二问就来了,那就是围着图形绕着X轴旋转,那就是所谓πF的平方DX,因为是好几块区域,然后把好几块曲线,把上建象一减就可以了。

  王立鹏:十九题是一个典型的二重积分的计算,实际上对于数2的同学来说每年都有二重积分的计算,二重积分的计算无外乎就是两个思路,一个是直角坐标系的积分,一个是极坐标系的积分,那这个题它出现了根号下X方加X方,显然去做极坐标系的积分就可以了。这个题的上下限确定起来也都不难,它唯一的一个难点就是不定积分的计算,它里面会出现一个三次方的积分,大家用一次分布积分把这个事算出来即可。

  姜晓千:对,二十题这是典型的咱们综值定理,一直说今年考综值定理,数2这个综值定理的题考得质量还可以,数1、数3是(1233)数2恰恰不是。第一问因为没有导数,没有导数用什么?用第一章的零点定理,移过去,大F1就等于小fX减去(2-X)E的X的平方,你会发现大F1它是小于0的,大F2它是大于0的。这样的话,是不是正好用零点定理,对不对?这是咱们的第一问。

  第二问,第二问你会发现它多了什么?多了个对数函数,这个时候就告诉大家,两类函数用一下柯西,所以分子是小f2减去小f1,分母是是lon2减去lon1,这样的话分子小f求导,正好出现质数,然后分母lon求导,正好出现倒数,翻上去就是第二问,所以第二问用的是柯西就是这样的。

  王立鹏:二十一题也是一个典型的数2同学考的题,就是几何应用相当于是,然后几何应用结合着微分方程去出题,就是我们首先要把它表示的东西,表示成一个微分方程出来,比如说它这里面求过原点的切线,那你把FX的切线先写出来,与X轴的交点你再写出来,然后再与什么垂直,然后再求它的一个围成三角形的面积,所有这种东西都是一些最简单的几何应用,我们把等式列出来之后,它说等于三比二。然后有了微分方程,相当于有了微分方程,我们就去解一阶的微分方程即可,但是它应该是到二阶,但是它是可降阶的。

  姜晓千:对。

  王立鹏:最终相当于是两个一阶的。

  姜晓千:对,它是缺X的。

  王立鹏:相当于是降两次阶。

  姜晓千:二十二题来了,22、23这应该是整个卷子最难的,真正压轴的。

  王立鹏:今年线性代数是大家的压轴题。

  姜晓千:前面我们讨论今年很可能线性代数这个不能怪哪个老师,真的不是推托责任,不能怪哪个老师,是目前所有的老师的课包括所有的模拟卷上,线性代数这两个题的命题角度真的是没有看到,包括李永乐老师这么多年的老数学组,也是资深的线性代数的所谓的现代网络,那么多书,包括六套卷,那么多题,一一给大家都讲了,你发现这种角度都没有,这种题今年就是强烈地感觉就是命题组换人换得幅度挺大,尤其线性代数应该力度最大,这种题就是几十年见不到,压根你就没考到,模拟卷你也见不到,就是这样。

  这是怎么个事?你看看,数1、数3的第一道题和数2还不一样,都挺难,数2至少有自己的亮点,它是可逆的线性变换,那是干什么?就是配方,好,它说得到另外一个,咱之前可逆线性变化得到什么?得到标准型,或者某一点得到规范型,这个不是,这个是得到另外一个,这是什么意思?就是我也能变成规范型,你也能变成规范型,现在是咱两个人一传递,让我直接变成你,所以说再做做我的,做做你的及,咱俩传递起来,通过规范型把咱俩衔接起来,这是一个传递,这是咱们配方法的传递的问题。

  数1、数3考的是什么?考的是正交变换法的传递问题,之前都没考过,压根没有,真没有,就是各种真题,包括各种模拟卷都没有出现,所以这两道题挺难的。

  第一问,咱们细一点说,这是比较难的两道题了,待会和王老师把这两道题给大家好好说一说,那么第一问它是求A的值。大家想到这个矩阵A和矩阵B是没有问题,你想想,我能变成你,可逆的线性变换,那可逆的线性变换这个质是保持不变的,质保持不变,那么质相同的话,行列式是不是也相同?对不对?你发现这个B的行列式明显是个0,那么A的行列式也能是个0,这个小a就解出来了。

  小a解出来的话,这个大A就干干净净地出来了,然后怎么办你说?然后把大A,也就是第一个二次型把它划成规范型,配方法,配方法怎么办?三大步,第一大步先配方,再怎么办?再还原,最后怎么办?解出来,解出来以后有个系数决定C,因为这是两道题,所以写个X等于C1Y,然后第二道题那个B也这么做,然后X等于C2Y,对不对?你经过这两个变换以后,最终咱俩都得到那个规范型了,一样的。

  一样的话说明这个C1的转质AC1就等于C2的转质BC2,然后两边做成C2的转质的逆,然后又成C2的逆。这样的话,你会发现,这一传递以后,就会得到C1、C2的逆的括号里边的转质乘上A,再去括号里边C1、C2的逆,它就等于个B,这个C1乘上C2的逆,这就是所谓的那个P,就是再传递一下配方法的传递,这个从来没见到,这个能做,不超纲,就是这种题型从来没考过,就是模拟卷上都没有准备的,这个题比较有难度。

  王立鹏:稍微补充一点,刚才姜老师说的求小a的时候,它应该求两个值,你应该会舍掉一个,比如说还是根据秩序舍掉一个。

  姜晓千:通过质来取得就行了,这个没有太大问题,主要是传递。

  王立鹏:23题是在讲一个是A是一个二阶矩阵,P是一个Aα,它说α是非0向量,不是A的特征向量,首先要证明这个P是可逆矩阵,二阶可逆矩阵我们只需要证明α和Aα线性无关即可,线性无关即可的话,我们可以用反证法,设α和Aα线性相关,两个向量线性相关成比例,那Aα就是α,恰好与它不是特征向量矛盾,这个事就结束了。但是如果你要用线性无关的定义去做也可以,就是K1α加K2Aα等于0,我去证明K1、K2全为0,也是同样的道理。

  这个题真正的难点在于第二问上,第二问很多同学都想不到,实际上我觉得想不到道理你应该知道,我们考题为什么给两问,第一问总是为第二问来服务的,它告诉我们应该怎么样从一问延伸变到第二问,就是我们要把它这个可逆矩阵给它用进去,而这个用进去的思想还要做相似角化,所以我们就把这个思想去写,应该去做AP,就是A乘P,为什么?因为它还有PinAP。

  我先写AP,那就是A、α、Aα,那就是AαA方α,而A方α它应该是负的Aα加上6α,而这个时候我们就可以写成矩阵乘法了,它又等于Aα乘以016负1,这样的话我们这个016负1这个矩阵就是B了,我们就求出这个举证B来。那B和A相似了,再问你其它的问题就很简单了,因为A和B是相似的,那么它有相同的特征值,B可以相似角化,A就可以相似角化,这个题我们求出来了。

  姜晓千:这个题的亮点主要还是得想到从AP开始做对吧?

  王立鹏:对,咱们今年的题型姜老师给总结一下它有什么特点。

  姜晓千:整体来说计算量不少,综合度更不少,所以说今年这个难度应该是达到咱们这么些年的一个比较高峰的,应该不弱于2018年,应该是咱们考研难度的顶峰了。那么还是一直跟大家说,咱们尽力了就OK了,学习好的、付出多的,肯定还是能体现出差距来,所以这段时间先好好放松一下。另外就是咱们2021考研的同学,咱们王老师给大家再稍微叮嘱几句。

  海天名师姜晓千、王立鹏解析2020考研数学二真题:真题总结及21备考建议

  王立鹏:对,咱们21考研的学习咱们应该从现在就开始抓紧了,因为你这个考研的时间有很多同学到了最后他来不及了,往往到了最后才知道时间不够用,所以我们不妨从现在就开始准备21的考研。大家抓紧的就是对于数2的同学你们特有的一些知识点,你们还是要特别地注意,比如数2特有的知识点,一个是这个参数方程求导,再一个刚才姜老师说的几何应用、物理应用,当然近两年考得都比较多,这都是数2同学单独具有的一些知识点。好了,我们今天就说这么多吧,姜老师。

  姜晓千:行行行,希望咱们所有的同学一切顺利。

  王立鹏:一切顺利,再见。

追梦之旅,选择比努力更重要!海天考研,为成功考研指引方向!

中间广告图.jpg

活动专题