海天名师姜晓千、王立鹏解析2020考研数学三真题(文字版)

2019/12/24 13:33:02 来源: 海天考研
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  2020考研数学考试已经结束,希望大家考的都不错。海天考研仅第一时间整理发布真题原文,还邀请名师为考生们进行真题解析,下面就来看看姜晓千老师,王立鹏老师为考生们带来2020考研数学三真题的文字版解析。

  题型特点

  王立鹏:咱们2020的考研数学已经结束了,我们在第一时间拿到了今年的真题,今天我和姜老师我们首先给大家来解析一下数学3的真题,姜老师。

  姜晓千:同学们好,考试刚结束,大家辛苦了,今年的考试题整体感觉还是有难度的,很多同学给的反映其实有点像2018年的真题,王老师感觉一下这个题你觉得主要特点是什么?

  王立鹏:今年的真题咱们看了一下,打到真题之后感觉它的难度还是比较大的,还有一些比较新新颖的新题,尤其是在今年的线性代数里面有几个新的新题,让大家感觉做起来很不顺手。

  姜晓千:对,也是我们老师的反映,也是同学们普遍的反映,高数和概率做起来整体来说还比较帅,当然高数也有个别题目是有亮点的,线性代数这两道题整体来说比较新颖。之前不管是整体甚至是市面上各种模拟卷都没怎么碰到这种题,整体很新颖,所以今年的题普遍感觉有点难,还是比2019年难不少。

  王立鹏:今年要看的话,总评的成绩还是在第一个提分的,所以咱们有的同学也不要太害怕。

  全题目解读

  姜晓千:对对对,学的好的还是学的好的。下面咱们从头给大家把这个题目都一一的把答案对一下,王老师先来。

  王立鹏:我们先看第1个题,第1个题它说是一个已知极限求极限的题,但是它里边一个最明显的特点出现了两个sin相减的形式,我们大家知道咱们讲过这种形式题一定要用拉格朗日中值定理来做,做一下拉格朗日中值定理,利用一下已知条件,这答案就选出来了,应该选择B。

  姜晓千:第2题是典型的高等数学的第一章的,判定,两大类四小类,第二类左右极限有一个是无穷,一边就行,或者有一个是振荡,首先就想到分母是零的,分母是零的你会感觉到x取0的事,但是这个不能用,为什么呢?因为你发现分子论也可以,那就换掉了,所以说0这个点不行。但是又发现2这个点可以,另外你发现分子上函数没有定义的点,-1这个点可以,因为log0是无穷。然后0这个点也可以,因为x取1这个点,因为x取1正的事,1-1/1这是个0正,分母是个0正,然后取倒数是个正无穷,1的正无穷个正无穷,都可以,所以最终是3个点,是2,-1和1,答案选C。

  王立鹏:第3个题它考了一个奇偶函数的问题,首先给了小fx是个奇函数,那小fx奇函数,cosfx就应该是偶函数了,而f′x也应该是偶函数,两个偶函数的和依然是偶函数。而我们去做0—x上的积分,它应该就变成了一个奇函数。但是大家要注意一下什么问题呢?就是下限,如果下限由0换成了其他的数,那就未必是奇函数了,它这个下限必须要是0的。

  姜晓千:对,第4题大家注意什么呢?收敛区间,它指的是x的范围,第一个奇数是x的范围,是-2到6,有同学可能搞不清楚,说老师那不是x-2吗,那是x的范围,你这个搞清楚了这个题基本就没有大问题了,那就是x它是大于-2小于6。前方有个x-2,为了框框,框框那就应该是大于-4,小于4,框框就是所谓收敛半径,说明这个收敛半径r就等于4,r等于4,那后面那个技术就是框框,后面的框框是不x+1的平方,对不对?x+1的平方小于4,那x的范围应该是-3到1,答案选B,第二个选项。

  王立鹏:今年你看线性代数从第五题开始它就让大家做的没有那么顺手了,它给的a是一个四阶矩阵,但是它不可逆,首先我们可以看出a的指数应该是小于n的,但是它人我们去求的是a伴随x等于0的公解,但是我们要去求a伴随x的质,那a的质小于n,a伴随的质只能是0或1了,但是它给出了代数于子是a1 2是不等于0的,那么我们就可以断定a伴随的质是1。所以在a伴随l等于0的奇数解析中应该有三个是无关解。而现在我们应该是用到a伴随a等于0,a伴随a等于0,a的列项量是a伴随x等于0的解,但是我们要找三个线性无关的,因为a1 2不等于0,所以α1,α3,α4是线性无关,应该选择C。

  姜晓千:第6题其实在2015年考过这样的,相似对角化它的定义或者它的本质,就是P它是不是有这些线性的特征向量组成的,而且和λ的那些特征值是不是对应的,那你就明白P的第一列是特征是1对应的,第二列是特征是-1对应的,第三列是特征是1对应的。那根据考试题再追加一点,相同特征值它的特征向量的线性组合还是这个特征值的向量,那这样的话你发现只有D是可以的,第四个选项。

  王立鹏:概率题的第7题它就是讲一个随意事件的概率,这个事是比较简单的,但是它告诉我们求a,b,c恰有一个发生的概率,恰有一个发生,那就是ab拔c拔,ab拔,a拔,b,c拔,还有a拔b拔c,实际上这个题我们用图形法去解释,因为我们在咱们冲刺班上的时候给大家讲过,把图形画出来,根据图形上的表示事件去描述概率就OK了。但是注意一点就够了,他说ab的概率等于0,那abc的概率也应该是0,用这个事件把它表述出来,所以答案应该选择的是5/12。

  姜晓千:第8道选择题考的是二维正太它的最基本的性质,因为它求的是x+y和x-y它的相关的期望和方差,因为它服从标准正太分布,求它的期望和方差。那么咱们知道二维正太分布它的线性组合是不仍然是正太分布?那么咱们当时给大家推广成最广义的版本就是ax+by线性组合,甚至咱们讲的线性函数,ax+by+c,这些都得掌握。期望最终都是个0,因为0不管怎么算还是0,主要是方差,方差能记得吗?是不应该是a方δ1方,加上b方δ2方,再加上两倍的abcv,但是cv又等于ρ乘δ1δ2,所以说最终其实就是2ab,然后ρδ1δ2,最终你发现只有C选项x+y,x+y它的方差是3,然后比较以后标准化,最终是比上根3,比上个根3,这样的话答案只能选C。

  王立鹏:今年的填空题总的来说它应该是比较简单的一些。

  姜晓千:对,这比较传统。

  王立鹏:填空题都是比较传统的一些题,第9题它就求了一个二元函数的全微分,二元函数的全微分我们就求出pnz,pnx,dx和pnz,pny,dy,也就是说让大家求两个偏导数,这个题唯一一点可以给大家提示的时候就是说它在0π这点的偏导数,就是对x取偏导数的时候我可以把y先代进去,而对y取偏导数的时候我可以先把x代进去,计算的时候会简单一点。

  姜晓千:对,这就是咱们所谓的求偏导数值,先代后导,最终这个答案是

  王立鹏:答案是π-1dx-dy。

  姜晓千:对。第10题是咱们导数应用研究切线法线,还有一个隐函数求导的问题,隐函数别说求导了,高阶导咱们都做了,所以这个题目真的就是传统的题了,基础版水平的。这个导数求完以后你发现y′在0这个点的值是个1,所以说最终切线方程是y=x-1,这4分就拿下了。

  王立鹏:第11题它是咱们数算同学专有的经济数学,我记得从去年开始就给大家说,我说经济数学必考,今年它果然还考,还是4分的一个小题。但这题求的最大利润,但是利润应该等于销售减去成本,然后求导数,导数等于0的点,就是取得最大利润点,但这道题的最大特点就是计算起来计算量有点大,最后答案应该是等于8。

  姜晓千:12题是典型的咱们第三章定积分的应用,旋转体的体积,旋转体的体积非常传统的做法是y轴,那就是2πy,因为是两条曲线,所以应该是上面的减去下面的。然后咱们说过,你想要研究定积分,研究这个体积的问题或者面积的问题,如果是个单调函数,是不可以转化为反函数?也就是说x是不可以转化成xy的,x对y的,那是不应该是所谓的π,所谓的f的平方,就是x对y那个函数的平方,然后对y积分就可以了,可以对x积分,可以对y积分,这两大方法都很好,最终答案是πb的,括号里边ι2减1/3,OK了。

  王立鹏:13题今年对线性代数来说是最简单的一个题,就是一个求四阶段行列式,这个事就是做一个行展开,然后做点行变换,这样就能算出结果来了,结果是a的4次方减4a平方。

  姜晓千:可以展开,可以用性质稍微一变换,反正4基了,因为它原数0比较多。14题是咱们典型的一维离散型随机变量,求它的期望。那你把y的取值和概率都算算,待会儿乘下来。它表示x被整除,那就只能余项的,那被3整除剩下只能是0,1,2,把0的,1的,2的,最终代上是个等比数列,把它算算,算完以后最终0的概率是1/7,1的概率是4/7,2的概率它是个2/7,最终期望的话再乘起来,1乘上4/7,2乘2/7,最终是4/7,4/10,8/7。这是怎么的填空题,整体来说今年的卷子最简单的就是填空题,填空题应该学的稍微扎实点,应该是不能丢分的。

  王立鹏:应该拿满分的,填空题。

  姜晓千:对。

  王立鹏:15题也是一个基础题,就是我们讲的等价无穷小,1+1/n的n次幕减1,然后是与这个a/n,n的a次幕分之b是等价无穷小,想主要去处理一下前面这个式子,这是我们幕式函数,对幕式函数进行了一个恒等变形,然后这是等价无穷小,就可以写出这个结果来了。

  姜晓千:对,另外恒等变形以后,因为指数1减指数2,也可以处理。

  王立鹏:也可以,没问题。

  姜晓千:16题是咱们第五章多元微分学的一个无条件的两大步,第一大步是不就是思维的触点?偏导数等于0的点,那么你先把这些点都找到,因为高次它会有好几个。紧接着第二大步-b方你去判定,它得大于0,然后再去看a怎么样,就这样就行了。

  王立鹏:17题,它首先给我们是一个二阶线性长系数方程,并且给了两个初始条件,让我们先求它的通解,然后用初始条件再去求它的特点,这是第一问,是非常规律的问,大家都应该做得对,这个问题应该很简单的。第二问,它说了求出这个fx表达数之后,它让我们去做了一个积分,当这个fx我们求出来应该是e-xcos2x,它的积分就是从nπ到正无穷,就是e-xcos2x积分,做一次分布积分,我们就可以写出这个结果来了。

  姜晓千:对。

  王立鹏:这道题它这个里面做分布积分的时候,我们可以算出an来,an它应该是e的-nπ,这个e的-nπ然后再去做无穷等比数列求和,然后就可以求出这个结果来了。实际上这个题目和咱们2019年的一个题是相类似的,2020年的题它是e-xcos2x,2019年的题是e-xsinx,区别基本上不大,是吧?

  姜晓千:对。

  王立鹏:跟去年的题基本上相类似的。

  姜晓千:就是把sinx换成cos2x。

  王立鹏:就这点区别。

  姜晓千:对,整体来说整个过程中,到了最后这个符号,这个数稍微变了变,所以说这个题做完以后,大家真的就感受到这个真题的价值,咱们说过,除了咱们笔记讲完的,最有价值的就是真题,其他的不管给你吹什么,跟你扯什么,最终最最有价值的肯定是真题,今年有两道题,17题这是典型的就是参考真题又改编了一道,非常典型,待会儿还有一道线性代数的,20题,待会儿咱们再说,咱先看一下18题。18题咱们第六项二次微积分的一个题,这类题考的很少,但是咱们练的很多,二重积分积完应该是个常数,他不知道,所以说等式两端同时在做二重积分,你把这个二重积分做出来,做出来以后选f是不就知道了?那它再坏了一点点,它求的是x乘上小f,那么你既然f知道了,那再乘上x再积分,对不对?另外这个题有一点小的亮点,打引号的亮点,咱们处理起来没有什么问题,这个题是传统的题。二重积分是个常数,咱先不管了,前面有个x,那积分区域是个上半圆,所以关于x而言它是个奇函数,所以这块不要急,0。所以说二重积分,五大积分法,这个t5项你马上用上,其他不有啰嗦了,只要0就ok,两大步就行了。

  王立鹏:19题在今年考试中还是有一定难度的,高数里面还是会出现一个难题的,但是咱们今年已经说了,今年很有可能考虑到。因为咱们说总2013年到2018年它就没出,2019年它突然间出了,咱们就断定了它2020年、2021年,可能明年还会有这样的题。

  姜晓千:碰到哪一年份,是不是?

  王立鹏:这个题会有一定的连续性,但是咱们说了这种题拿起来之后当然首先就是无外乎你要去想罗尔定理和拉格朗日中值定理,其他的事都不用去多想。这道题的难点在哪里呢?你把这个他说在0—2上取一个最大值fx是M,那我就可以把这个点设出来这是这道题最关键的地方。然后你可以说这个0,然后我设计这个点是c,c在0—2之间。然后我就在0—c上和c—2上做两次拉式定理,然后把两个式子做加做减,然后你相对一运算就能产生,再适当的放松,就可以产生第一问的结果。第二问,相当于在第一问的基础上你做一个反证法,就把结果写出来了,这种题就这么来做。

  姜晓千:其实第一问做好了,第二问就水到渠成了。下面就谈到咱刚才的话题了,这个真题的价值,17题就是把2019年的题,把sin换成cos2x,其他一致的。20题又是类子的,20题2019年的线性代数的第二道大题,是不是相似对角化?a相似对角化λ,b相似对角化λ,然后一传递找到那个p。那这个题我跟大家说,如果2019年你做好了,这个题有希望,只是有希望,这个题算是今年比较难的,包括后面21题,待会儿王老师给大家再详细讲一下21题。这两道题应该是今年卷子算是最终的应该是综合度最高的,得分率最低的两道题。但是也不用太担心,做不出来都做不出来,最终还是看你真实水平的,真的是。20题很经典,它是正交相似对角化,正交矩阵肯定是可逆矩阵,它是不也能传递,对不对?所以这个你也就差那么一点点火候,正交矩阵它也满足这个传递的,这没有问题。那么第一问我觉得大家可以的,那就是a把它转化成b,它说能转化过去,也就正交相似对角化肯定是相似对角化的问题,这负责问题,所以说有相同的特征值。你也不用忙着特征方程开始做,那你这样的话太慢了,那你根据特征值性质,a的特征值的和,也就是主对角线元素的和,是不应该等于b的?是不得到一个式子?对不对?那么a的特征值的乘积,也就是所谓的行列式是不应该等于b的行列式?是不又得到一个式子?那小a小b不就搞定了吗?所以第一问你得快速的拿下。小a小b一旦搞定了,那么b这个矩阵后面那个二次型的矩阵那就非常具体的写给咱们了,写给咱们以后你就想他们,那么q1的aq等于λ,q怎么求?非常经典三大步,是不先求特征值?再求特征向量,最后还有或者是不有个向量级,你可以做个差乘。

  王立鹏:它是二阶的。

  姜晓千:对,二阶的只要不同的话肯定正交,只要单位化就可以了,所以这个a的就能搞定,b的也能搞定,那这样的话它就能传递一下,q1的转制aq1,等于λ,它等于q2的转制bq2,所以说这个等式两端所乘q2的转制,正交矩阵的转制也是正交矩阵,正交矩阵的逆也是正交矩阵,正交矩阵的乘积还是正交矩阵,根据定义这些都能证出来,所以说放心的用。一用的话最终你就可以发现q1、q2的转制,括号外边再转制,乘上a,然后括号后面q1、q的转制等于b。那么所谓的那个q就是q1乘q2的转制,就是把每个都求好以后乘到一起,那就是所谓的q,这11分就拿下了,所以说就比2019年的题多了一个正交给的问题,正交相似对角化,一传递就过去了。

  王立鹏:实际上这个题咱们多说一句,姜老师,我觉得它这个思想正交吗,它本身就是一个什么?只需要一个单位化,就比咱们2019年的题目上就多一个单位化的过程,但是相对计算来说要比2019年的要小。

  姜晓千:因为是二阶的。

  王立鹏:2019年三阶的,三阶的时候你要算起来计算量往往要比今年的还要大一点。

  姜晓千:对,所以说这个题王老师说的很有道理,多了一个正交,也就是最终其实是多了一个单位化的问题,但是它就简化了,从三阶变成二阶的。

  王立鹏:而且这个是求转制,那边的是求逆,求逆的话比这事还要复杂,实际上咱们去年的题要比今年的计算量要大一点。

  姜晓千:对对对,这个题的计算量应该不会高于2019年的题。

  王立鹏:比它要小一些。

  姜晓千:对。

  王立鹏:这份卷子上我觉得21题也是一个难度比较大的一个题。

  姜晓千:对,应该是最难的一道题了。

  王立鹏:很多同学反应不出来这个题,实际上这个题第一问,它说了,a是个二阶级的,p是ar,它让我们证明p可逆,我觉得这个还是比较简单的,p可逆也是说我们只要证明α和aα线性无关就可以了。线性无关我们用反证法的思想,设它线性相关,线性相关的话不就是两个向量线性相关,对应分量成比例,aα等于λα,那么α就矛盾了,所以第一问就结束了。

  姜晓千:插一句,其实这就是相关无关的定义,对不对?

  王立鹏:对,用定义写也可以。第二问,大家一定要注意,我们说当你想不出来的时候你要看什么?你要看第一问,这道题最难的点,很多同学说我没有反应,你没有反应是正常的,但是人家为什么给你第一问?人家是为了让你去做第二问。所以我们要借助第一问的结论去把第二问做出来。它主要用的是谁?这个P矩阵,αaα,我们在它上做,乘上a,那就变成aαa方α,那a方α恰好它给了是-aα加6α,然后把举证乘法一写是αaα乘以0,1,6,-6,那这个矩阵写出来,我给它起个名叫b,就是我们要求的第二问的结论。而这个b写出来了,ab是相似的,相似矩阵,那你可以求出b的特征值来。求出b的特征值,之后我就可以b能相似转化,所以a可以相似转化,这个题思想就在这儿。而这个题我记得在咱们考研的历史上,大概是2000年。

  姜晓千:2008年左右有个类似的。

  王立鹏:有个类似的,它有一个是a立方法等于-aα加2倍a方α,有这个题,实际上这个题和这个题很像,它降了一级,当年是给的是三阶的,你发现今年的题挺有意思的,难度挺大,但是计算量挺小。

  姜晓千:20题和21题计算量确实不会比之前的高,但是这个综合度比较高,比较新颖。

  王立鹏:想不好想,只要能想出来,今年的题就做出来了。

  姜晓千:22题这是典型的二维离散型随机变量,那就去求它的联合概率分布,求它们的取值和概率,求它的取值,尤其是求对应概率的事,那对应的不就是这个均匀分布,均匀分布你可以二重积分,其实均匀分布就是个面积,比一比就可以了,因为它是均匀的,那么联合概率分布就容易求出来了,一旦容易求出来以后,再求它的相关系数,那先求cav,cav就是乘机的期望减期望的乘机,一系列公式往里代就行了,二维离散的这个整体来说难度它不是大的,这个概率统计的题不难。

  王立鹏:不难。

  姜晓千:包括下面23题也很传统。

  王立鹏:今年的23题它这个题给了一个随机变量的分布函数,然后让我们求两个概率。一个是p>t的概率,那我们用它的对立事件来求,p>t,那就是1-p,T小于等于t,一把分布函代进去,这个结果就写出来了。第二问,它求了一个t大于ts,在t>s的条件下,求这个条件概率,这个条件概率无外乎我们用公式去写。但是这个题大家注意一点,你别用它这个,我们在讲指数分布的时候有一个无记忆性,而这个题它是不能用无记忆性来做的,你就按照条件概率去做就完全可以了。

  姜晓千:对。

  王立鹏:第二问它是求一个最大似然估计,那大家做起来很简单,因为我们说了,咱们给大家押题的话,都会说最后一个题,最大似然估计去估计,给你分布函数求密度,然后求自然函数,然后求取对数,求导数等于0,然后求出最大似然估计来,第二问是跟规矩的一个题。

  姜晓千:对,这个我得追加一句,第一问,整体来说王老师刚才提到了条件概率公式,你把它展开就行,你分子分母,你不管概率密度积分,还是求逆以后用分布函数都可以做,唯独的就是别用无记忆性。为什么呢?因为m如果是个1的话,这是不是典型的指数分布,对不对?m不是个1的话,你要严谨点,这不是指数分布,不是指数分布的话你得推,你推完以后你会发现它没有无记忆性,所以这个题就这一点比较担心,不要盲目的用,一定要严谨。

  王立鹏:胆子别太大。

  真题总结及21备考建议

  姜晓千:对,一定要严谨,得熟练,得非常熟练。数3的卷子整体来说前面已经说了,接着咱们这个问题,希望咱们2020的同学奋斗了咱肯定希望有个好的结果,另外也别有太大压力,咱还是那句话,难的题都难,高手还是高手,咱尽力了就可以了。接着咱们2021的,王老师看看有没有给2021的同学再说两句。

  王立鹏:咱们还是先说数3的同学,咱们还是抓住咱们最基本的这些东西,你们还是应该看咱们这些最数3考的这些东西,超纲的东西当然你不用看。比如说咱们说给大家反复强调的像这种经济数学,还有差分方程,数3的同学,单独考的同学,你们一定要多看一下。再有像我们说是概率定理的,最大似然估计去估计,这种题是每年都必考的,我觉得咱们还是应该会做的。再有一个,我觉得数3的同学非常喜欢考的是隐含式方程加切线、法线,这个我觉得还是比较多的。姜老师您看您还有什么补充?

  姜晓千:另外就是关于咱们的课程,一定不能大意,数学大家考完以后看看上一届的师兄师姐,看看这帮大四的你就明白了,一定不要眼高手低,课一定要踏踏实实跟着听,课必须听,尤其咱们这些比较骨干老师的,老师本来的背景都是专业数学博士出身的,而且这么多年专业背景的,多跟着老师学习,学习完了记得多做题。你想咱们的名师集训跟高三模式一样,听完课去做题,做完题就考试,考试完了就讲评,完全跟高三的模式一样,这个效果会更好一些,一定要严格的要求自己,考研数学真的是不容易,整个考研都感觉难度越来越大。

  王立鹏:越来越大了,而且题目真的,你看九几年的题那现在完全就变成练习题了。

  姜晓千:最后希望咱们大四的同学,咱们2020的考研都能考一个好的成绩,大三的同学踏踏实实跟着学习一下,加油。

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